1.1. Propiedades y tipos de triángulos:
Un triángulo es una figura geométrica formada por tres lados y tres ángulos. Algunas de sus propiedades son:
- Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.
- La suma de sus ángulos interiores es siempre 180º.
- El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.
Hay varios tipos de triángulos:
- Según sus lados:
- Equilátero (Tres lados iguales).
- Isósceles (Dos lados iguales).
- Escaleno (Tres lados desiguales).
- Según sus ángulos:
- Acutángulo (Tres ángulos agudos).
- Rectángulo (Un ángulo recto).
- Obtusángulo (Un ángulo obtuso).
1.2. Rectas y puntos notables en el triángulo:
- Incentro: el incentro es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo, por lo que la distancia a cada uno de sus lados es la misma. Más concretamente, es el punto de intersección de las bisectrices de cada uno de los ángulos del triángulo (siendo una bisectriz la recta que divide a un ángulo en dos ángulos iguales), por lo que para representarlo gráficamente debemos dibujar las tres bisectrices y localizar el punto de intersección de las mismas.
- Baricentro: el baricentro (también llamado centroide) de un triángulo es el punto de intersección de las medianas de dicho triángulo (siendo una mediana el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto). Por ello, para representar gráficamente el baricentro debemos dibujar las tres medianas y localizar el punto en el que se cortan.
- Circuncentro: el circuncentro de un triángulo es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, por lo que la distancia a cada uno de sus vértices es la misma (el radio de dicha circunferencia). En concreto, es el punto de intersección de las mediatrices del triángulo (siendo una mediatriz la recta perpendicular a un lado que pasa por el punto medio del mismo). Por tanto, para representar gráficamente el circuncentro dibujamos las tres mediatrices y localizamos el punto de intersección de las mismas.
- Ortocentro: el ortocentro de un triángulo es el punto de intersección de las tres alturas del triángulo (siendo una altura el segmento que parte de un vértice y es perpendicular al lado opuesto a dicho vértice). Entonces para representar gráficamente el ortocentro de un triángulo dibujamos las tres alturas y nos quedamos con el punto en el que se intersecan.
1.3. El teorema de Pitágoras:
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos.
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos.
1.3.1. Demostración gráfica: http://gaussianos.com/lo-que-se-puede-hacer-con-geogebra-ixdemostracion-visual-del-teorema-de-pitagoras/
1.3.2. El teorema en 3D
1.4. El teorema de Tales:
Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.
2. Lugares geométricos:
2.1 ¿Qué es un lugar geométrico?
Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geométricas.
2.2 La mediatriz y la bisectriz:
- La mediatriz es la recta perpendicular a un segmento que se traza en su punto medio.
- La bisectriz es la Semirrecta que parte del vértice de un ángulo y lo divide en dos partes iguales.
2.3. Las cónicas:
2.3.1. ¿Qué es una cónica?
Son dos conos colocados uno encima del vértice del otro, que sirve para obtener de ellos otros elementos.
2.3.2. La circunferencia:
Es la sección producida por un plano perpendicular al eje.
2.3.4. La hipérbola:
Es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, formando con él un ángulo menor al que forman eje y generatriz, por lo que incide en las dos hojas de la superficie cónica.
2.3.5. La parábola:
Es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, siendo paralelo a la generatriz.
3. Movimientos en el plano:
3.1. Las translaciones. ¿Qué es un vector?
3.2. Simetría. Ejercicios:
3.2.1 Dado el triángulo de vértices A(-2,2), B(6,-1) y C(7,5) se pide:
a) Dibujar el triángulo
Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.
2. Lugares geométricos:
2.1 ¿Qué es un lugar geométrico?
Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geométricas.
2.2 La mediatriz y la bisectriz:
- La mediatriz es la recta perpendicular a un segmento que se traza en su punto medio.
- La bisectriz es la Semirrecta que parte del vértice de un ángulo y lo divide en dos partes iguales.
2.3. Las cónicas:
2.3.1. ¿Qué es una cónica?
Son dos conos colocados uno encima del vértice del otro, que sirve para obtener de ellos otros elementos.
2.3.2. La circunferencia:
Es la sección producida por un plano perpendicular al eje.
2.3.3. La elipse:
Es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, que no sea paralelo a la generatriz y que forme con el mismo un ángulo mayor que el que forman eje y generatriz.
2.3.4. La hipérbola:
Es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, formando con él un ángulo menor al que forman eje y generatriz, por lo que incide en las dos hojas de la superficie cónica.
2.3.5. La parábola:
Es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, siendo paralelo a la generatriz.
3. Movimientos en el plano:
3.1. Las translaciones. ¿Qué es un vector?
Un vector fijo es un segmento orientado que va del punto A
(origen) al punto B (extremo).
3.2.1 Dado el triángulo de vértices A(-2,2), B(6,-1) y C(7,5) se pide:
a) Dibujar el triángulo
b) Hallar el triángulo simétrico respecto del centro de simetría O(0,0)
